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数学の抽象代数学の分野において 関係代数 (relation algebra) とは "逆" と呼ばれる対合を持つのことである。動機付けとなるような関係代数の例は、集合 ''X'' 上の全ての二項関係からなる集合 Pow(''X''2) であって、演算 ''R'' • ''S'' を通常の関係の合成とし、''R'' の逆を逆関係で定義する。関係代数は 19世紀の オーガスタス・ド・モルガン と チャールズ・サンダース・パースの結果から現れ、の代数的論理学において全盛となった。現在の、関係代数の等式による定式化は、1940年代に始まるアルフレト・タルスキと彼の弟子たちの研究によってなされた。 ==定義== 関係代数とは組 (''L'', ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, I, ▷, ◁, ˘) であって、以下の条件を満たすものである: # (''L'', ∧, ∨, •, I, ▷, ◁) は剰余付きブール代数である。 # 単項演算 ''x''˘ は ''x''˘ ▷ I = ''x'' = I ◁ ''x''˘ を満たす。 ''x'' ▷ ''y'' は合成と逆を使って ''x''˘ • ''y'' と定義可能で、双対的に ''x'' ◁ ''y'' を ''x'' • ''y''˘ と定義できるので演算 ▷ や ◁ を関係代数の算号系 (signature) に含める必要はなく、通常そうされているように組 (''L'', ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, I, ˘) として定めることができる。一方、''x''˘ は ''x'' ▷ I または I ◁ ''x'' として定義することができて、そうした場合に関係代数は剰余付きブール代数と同じ算号系を持つことになる。この定義のもとで公理は (''x'' ▷ I)▷ I = ''x'' = I ◁(I ◁ ''x'') の形に書けるが、これは単に ▷ I と I ◁ が対合であることを要請するものである。 はもしどちらかが対合ならば他方も対合であるので両者は同一の操作であり、つまりどちらも逆を与えることを示した。このような考察のもと : "関係代数とは剰余付きブール代数 (''L'', ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, I, ▷, ◁) であって I ◁ が対合となるものである" という直接的な定義が導かれる。I を乗法単位元に対応させ、''x'' ◁ ''y'' を ''x'' の ''y'' による商だと思えば、構文論的に 1/''x'' に該当するものは ''x''˘ = I ◁ ''x'' であるという意味で、これを ''x'' の "逆数" あるいは "逆" として理解することができる。 剰余付きブール代数は有限個の等式で公理化されるので、関係代数もそうであり、それがゆえに関係代数全体の成す〔これは位相多様体や代数多様体などとは異なる概念であることに注意。〕 RA は有限公理化多様体を形成する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「関係代数 (数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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